16578. Даны окружность \omega
радиуса 6 и точка C
, лежащая вне её. Из точки C
провели касательную, касающуюся \omega
в точке D
, и секущую, пересекающую \omega
в точках A
и B
. Оказалось, что CD=8
и AC=4
. Найдите площадь треугольника BCD
.
Ответ. 38,4.
Решение. Заметим, что точка A
лежит на отрезке BC
.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
CD^{2}=CA\cdot CB,~\mbox{или}~64=4(4+AB)~\Rightarrow AB=12~\Rightarrow
Поскольку хорда AB
окружности \omega
вдвое длиннее её радиуса, получаем, что AB
— диаметр окружности \omega
.
Пусть O
— центр окружности \omega
. Тогда OD=6
, а так как OD\perp CD
, то треугольник COD
прямоугольный с гипотенузой
OC=OA+AC=6+4=10
и катетом BC=8
. Тогда
\sin\angle BCD=\sin\angle OCD=\frac{CD}{OC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CD\cdot OC\sin\angle BCD=\frac{1}{2}\cdot8\cdot16\cdot\frac{4}{5}=\frac{192}{5}=38{,}4.
Примечание. Точка A
действительно лежит на отрезке BC
, так как иначе
64=4(4-AB)~\Rightarrow~AB=-12\lt0,
что невозможно.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 11 класс, школьный этап, задача 6