16580. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABD=\angle CBD=47^{\circ}
. Точка K
такова, что вершина D
— середина отрезка AK
. Найдите \angle BCK
, если BC=AB+CK
. Найдите \angle BCK
Ответ. 86^{\circ}
.
Решение. Отметим на стороне BC
точку L
, для которой BL=AB
. По условию
BC=AB+CK~\Rightarrow~LC=BC-BL=BC-AB=CK.
Треугольники ABD
и LBD
с общей стороной BD
равны по двум сторонам и углу между ними, так как AB=BL
и \angle ABD=\angle LBD
. Тогда AD=LD
, а так как D
— середина отрезка AK
, то
KD=AD=LD.
В треугольнике ALK
медиана LD
равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому этот треугольник прямоугольный с прямым углом ALK
(см. задачу 1188).
Треугольник ABL
равнобедренный (AB=BL
), поэтому
\angle BLA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABL)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-47^{\circ}-47^{\circ})=43^{\circ}.
Тогда
\angle CLK=180^{\circ}-\angle BLA-\angle ALK=180^{\circ}-43^{\circ}-90^{\circ}=47^{\circ}.
Треугольник CLK
тоже равнобедренный (CL=CK
), поэтому
\angle BCK=\angle LCK=180^{\circ}-2\angle CLK=180^{\circ}-2\cdot47^{\circ}=86^{\circ}.
Примечание. Из решения также следует, что AB\parallel CK
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, 10 класс, школьный этап, задача 7