16584. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
). На продолжениях боковых сторон AB
и BC
за точку B
отмечены точки D
и E
соответственно, а на основании AC
отмечена точка F
, причём AC=DE
и \angle CFE=\angle DEF
. Докажите, что \angle ABC=2\angle DFE
.
Решение. Обозначим через O
середину дуги DBE
окружности, описанной около треугольника DBE
(см. рисунок). Прямая BO
содержит внешнюю биссектрису в треугольника DBE
, а следовательно, и треугольника ABC
. Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому BO\parallel AC
(см. задачу 1174). Заметим, что
\angle EOD=\angle EBD=\angle ABC.
Значит, в равнобедренных треугольниках EOD
и ABC
равны углы при вершинах, а также основания, поэтому равны и сами треугольники. Отсюда, во-первых,
BA=BC=OE=OD,
во-вторых, расстояние от точки O
до прямой DE
равно расстоянию от точки B
до прямой AC
, а последнее равно расстоянию от O
до AC
(поскольку BO\parallel AC)
. Значит, точка O
лежит на биссектрисе угла между прямыми DE
и AC
.
Из условия \angle DEF=\angle CFE
вытекает, что эта биссектриса является серединными перпендикуляром к отрезку EF
(так как вписанная трапеция CFED
с основаниями CD
и EF
— равнобедренная). Таким образом,
OF=OE=OD,
т. е. точка O
— центр описанной около треугольника DFE
. Следовательно,
2\angle DFE=\angle DOE=\angle ABC.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, первый день, 9 класс, региональный этап, задача 9.5 и