16591. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором \angle A=\angle C=90^{\circ}
. Известно, что его вершины A
и D
вместе с серединами сторон AB
и BC
лежат на одной окружности. Докажите, что вершины B
и C
вместе с серединами сторон AD
и DC
тоже лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Обозначим через K
, L
, M
и N
середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно (см. рис. 1). По условию, четырёхугольник AKLD
вписанный. Значит,
\angle KLD=180^{\circ}-\angle KAD=90^{\circ}.
Поскольку KL
— средняя линия треугольника ABC
, то KL\parallel AC
, поэтому LD\perp AC
. Пусть отрезки DL
и AC
пересекаются в точке D_{1}
. Опустим из точки B
перпендикуляр BB_{1}
на прямую AC
. Тогда BB_{1}\parallel LD_{1}
, значит, по теореме Фалеса D_{1}
— середина отрезка CB_{1}
. Кроме того, четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, построенную на отрезке BD
как на диаметре. Обозначим через O
центр этой окружности. Проекции точек B
и D
на прямую AC
находятся на равном расстоянии от проекции точки O
, т. е. от середины отрезка AC
(см. задачу 1939). Значит, CD_{1}=AB_{1}
. Следовательно, AB_{1}=CD_{1}=B_{1}D_{1}
, поэтому B_{1}N
— средняя линия в треугольнике AD_{1}D
. Тогда B_{1}N\parallel DD_{1}
и \angle D_{1}B_{1}N=90^{\circ}
. Поскольку NM
— средняя линия треугольника ACD
, то NM\parallel AC
и \angle BNM=\angle B_{1}NM=90^{\circ}
. Следовательно, точки B
, C
, N
и M
лежат на окружности с диаметром BM
. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Воспользуемся обозначениями из первого способа. Поскольку KL
— средняя линия треугольника ABC
, то KL\parallel AC
. Отсюда и из вписанности четырёхугольника ABCD
, мы получаем, что
\angle BDC=\angle BAC=\angle BKL=180^{\circ}-\angle AKL
(см. рис. 2). Таким образом, вписанность четырёхугольника AKLD
равносильна равенству углов \angle ADL=\angle BDC
, что эквивалентно равенству \angle ADB=\angle CDL
. Последнее равенство равносильно подобию треугольников LCD
и BAD
, что эквивалентно равенству отношений их катетов \frac{LC}{CD}=\frac{AB}{AD}
. Домножая на знаменатели, получаем соотношение
AB\cdot CD=\frac{1}{2}AD\cdot BC.
Рассуждая аналогично, получаем, что это же равенство равносильно вписанности четырёхугольника BNMC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, второй день 10 класс, региональный этап, задача 10.8