16594. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором \angle A+\angle D=90^{\circ}
. Его диагонали пересекаются в точке E
. Прямая l
пересекает отрезки AB
, CD
, AE
и ED
в точках X
, Y
, Z
и T
соответственно. Известно, что AZ=CE
и BE=DT
. Докажите, что отрезок XY
равен диаметру окружности, описанной около треугольника ETZ
.
Решение. Применив теорему Менелая к треугольнику ETZ
и прямым AXB
и CYD
, получим
\frac{ZA}{AE}\cdot\frac{EB}{BT}\cdot\frac{TX}{XZ}=\frac{AZ}{AE}\cdot\frac{BE}{BT}\cdot\frac{XT}{XZ}=1,
=\frac{EC}{CZ}\cdot\frac{ZY}{YT}\cdot\frac{TD}{DE}=\frac{CE}{CZ}\cdot\frac{DT}{DE}\cdot\frac{YZ}{YT}=1,
поэтому
\frac{AZ}{AE}\cdot\frac{BE}{BT}\cdot\frac{XT}{XZ}=\frac{CE}{CZ}\cdot\frac{DT}{DE}\cdot\frac{YZ}{YT}.
Из равенств AZ=CE
и BE=DT
следует, что AE=CZ
и BT=DE
, поэтому
\frac{XT}{XZ}=\frac{YZ}{YT}.
Это означает, что точки X
и Y
симметричны относительно середины S
отрезка ZT
.
Из условия \angle A+\angle D=90^{\circ}
следует, что лучи AB
и DC
пересекаются в некоторой точке F
под прямым углом. Тогда в прямоугольном треугольнике XFY
медиана FZ
равна половине гипотенузы XY
.
Обозначим, через M
и N
середины сторон AD
и BC
соответственно, а через O
— центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
. Тогда O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AC
и BD
, которые совпадают с серединными перпендикулярами к отрезкам EZ
и ET
соответственно. Значит, O
— также центр описанной окружности треугольника ETZ
, а OE
— её радиус. Таким образом, осталось доказать, что OE=FS
. Для этого достаточно убедиться, что OEFS
— параллелограмм.
Поскольку EN
— медиана треугольника CBE
, а MS
— отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырёхугольника AZTD
, то (см. задачи 4500 и 4504)
\overrightarrow{EN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DT}+\overrightarrow{AZ})=\overrightarrow{MS}.
В прямоугольном треугольнике FBC
проекции вектора \overrightarrow{FN}
на прямые BF
и CF
равны \frac{1}{2}\overrightarrow{BF}
и \frac{1}{2}\overrightarrow{CF}
соответственно, а так как O
и M
— центры окружностей, описанных около четырёхугольника ABCD
и треугольника ADF
соответственно, то при проецировании на те же прямые первая попадает в середины отрезков AB
и CD
, а вторая — в середины AF
и DF
. Значит, проекции вектора
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DO}
на эти прямые равны
\frac{1}{2}(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}~\mbox{и}~\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CF},
откуда \overrightarrow{NF}=\overrightarrow{OM}
.
Итак,
\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{NF}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{EF}.
Следовательно, OEFS
— параллелограмм. Отсюда вытекает утверждение задачи.
Примечание. Есть и другие доказательства того, что OEFS
— параллелограмм. Например, можно использовать тот факт, что точки O
и F
изогонально сопряжены относительно треугольника ADE
.
Автор: Кузнецов А. С.
Автор: Фролов И. И.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 9 класс, заключительный этап, задача 9.4