16595. Высоты остроугольного треугольника, в котором AB\lt AC
, пересекаются в точке H
, а O
— центр описанной около него окружности \Omega
. Отрезок OH
пересекает описанную около треугольника BHC
окружность в точке X
, отличной от O
и H
. Окружность, описанная около треугольника AOX
, пересекает меньшую дугу AB
окружности \Omega
в точке Y
. Докажите, что прямая XY
делит отрезок BC
пополам.
Решение. Пусть H'
и X'
— точки, симметричные точкам соответственно H
и X
относительно середины BC
. Тогда HXH'X'
— параллелограмм, а так как
\angle BX'C=\angle BH'C=\angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC,
то точки X'
и H'
лежат на окружности \Omega
. При этом, поскольку H'B\parallel CH
, а CH\perp AB
, то \angle ABH'=90^{\circ}
, поэтому точка H'
окружности \Omega
диаметрально противоположна точке A
. Значит, прямая AH'
проходит через точку O
, а так как XO\parallel H'X'
, то
\angle AYX'=180^{\circ}-\angle AA'X'=180^{\circ}-\angle AOX=\angle AYX.
Значит, точки Y
, X
и X'
лежат на одной прямой, делящей сторону BC
пополам. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Ещё несколько свойств данной конфигурации, которые могут оказаться полезными для решения:
расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности треугольника до середины противоположной стороны (см. задачу 1257);
точки A
и X'
симметричны относительно прямой OH
, в частности, XA=XX'=XM
;
можно указать ещё несколько точек, лежащих на описанной окружности четырёхугольника AXOY
— точка пересечения отрезка AM
с окружностью \Omega'
, а также точка на описанной окружности треугольника BO'C
, диаметрально противоположная точке O'
.
Автор: Терёшин А. Д.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, 9 класс, заключительный этап, задача 9.6