16605. Дан треугольник ABC
с углом A
, равным 60^{\circ}
. Его вписанная окружность касается стороны AB
в точке D
, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC
, касается продолжения стороны AB
в точке E
. Докажите, что перпендикуляр к стороне AC
, проходящий через точку D
, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудалённой от точек E
и C
.
Решение. Пусть вписанная окружность \omega
с центром I
касается стороны AC
в точке H
, вневписанная окружность из условия касается стороны AC
в точке K
, перпендикуляр DF
из условия пересекает \omega
в точке X
.
Поскольку AD=AH
и \angle A=60^{\circ}
, то треугольник ADH
равносторонний, а DF
— его высота. Поскольку
\angle XIH=2\angle XDH=60^{\circ}=\angle AIH,
точка X
лежит на прямой AI
, т. е. является центром треугольника ADH
. По свойствам касательных к вписанной и вневписанной окружностям, AE=AK=CH
(см. задачу 4805). Кроме того,
AX=HX~\mbox{и}~\angle EAX=30^{\circ}+120^{\circ}=150^{\circ}=\angle CHX.
Значит, треугольники AXE
и HXC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, XE=XC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Турнир городов. — 2023-2024, XLV, осенний тур, сложный вариант, 29 октября, 6-8 классы, задача 4