16612. Окружность касается боковых сторон трапеции ABCD
в точках B
и C
, а её центр лежит на AD
. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.
Решение. Пусть O
— центр окружности; EF
— её диаметр, лежащий на прямой AD
; G
и H
— проекции точек соответственно B
и C
на прямую AD
.
Дуги BE
и CF
равны, поэтому из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ABG=\angle DCH
. Тогда из равенства прямоугольных треугольников AGB
и DHC
по катету и прилежащему углу получаем, что AG=GH
и AB=CD
. Значит, трапеция ABCD
равнобокая. Следовательно, её средняя линия равна (см. задачу 1921)
AH=EH+AE=EH+(OA-OB).
Прямоугольный треугольник AOB
подобен прямоугольному треугольнику OBG
с некоторым коэффициентом k\gt1
, поэтому
OA-OB=kOB-kOG=k(OB-OG)\gt OB-OG=OE-OG=EG=HF.
Следовательно,
AH=EH+(OA-OB)\gt EH+HF=EF.
Что и требовалось доказать.
Автор: Мухин Д. Г.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8 класс, задача 3