16613. На боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
отмечены точки D
и E
, причём \angle BED=3\angle BDE
. Точка D'
симметрична точке D
относительно прямой AC
. Докажите, что прямая D'E
проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC
.
Решение. Пусть биссектрисы AL
и CH
треугольника ABC
пересекаются в точке I
, а углы при основании AC
равны 2\alpha
. Поскольку
\angle BLA=\alpha+2\alpha=3\alpha~\mbox{и},\angle ABC=180^{\circ}-4\alpha=180^{\circ}-4\angle BDE,
то \angle BDE=\alpha
, поэтому DE\parallel AL
.
Кроме того, из симметрии
\angle CAD'=\angle CAB=\angle BCA,
поэтому AD'\parallel BL
.
Пусть отрезки ED'
и AL
пересекаются в точке I'
. Из параллельности AL
и DE
и свойства биссектрисы BI
треугольника ABL
(см. задачу 1509) получаем
\frac{I'L}{I'A}=\frac{LE}{AD'}=\frac{LE}{AD}=\frac{BL}{BA}=\frac{IL}{IA'},
т. е. точки I'
и I
делят отрезок AL
в одном и том же отношении. Значит, эти точки совпадают. Следовательно прямая D'E
проходит через точку I
. Что и требовалось доказать.
Автор: Ивлев Ф. А.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8 класс, задача 4