16616. В треугольнике ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
(a\gt b\gt c
) отмечены центр вписанной окружности, а также точки K
и N
касания вписанной окружности со сторонами BC
и AC
соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок, равный a-c
.
Решение. Точка T
пересечения прямой KN
с биссектрисой BI
совпадает с проекцией точки A
на прямую BI
(см. задачу 58). Пусть P
— точка пересечения прямых BC
и AT
. Тогда треугольник ABP
равнобедренный (AB=BP
), так как его высота BT
является биссектрисой. Значит,
a-c=BC-AB=BC-BP=CP,
т. е. CP
— искомый отрезок, и он построен за три разрешённых действия: проведение прямых KN
, BI
и AT
.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-9 классы, задача 8