16617. Точка, симметричная ортоцентру треугольника ABC
относительно центра его описанной окружности, лежит на стороне BC
. Пусть AA_{1}
— высота треугольника. Докажите, что A_{1}
лежит на окружности, проходящей через середины трёх высот треугольника.
Решение. Расстояние от центра O
описанной окружности треугольника ABC
до стороны BC
равно половине отрезка AH
(см. задачу 1257).
Пусть точка D
, лежащая на стороне BC
, симметрична ортоцентру H
относительно точки O
. Поскольку O
— середина HD
, расстояние от точки O
до стороны BC
по теореме о средней линии равно половине отрезка HA_{1}
. Значит, HA_{1}=AH
, т. е. H
— середина высоты AA_{1}
.
Пусть A_{0}
— середина стороны BC
. По теореме Фалеса середины X
и Y
высот BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
лежат на его средних линиях, параллельных AC
и AB
соответственно, поэтому
\angle A_{0}XH=\angle A_{0}YH=90^{\circ}.
Следовательно, точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром A_{0}H
, а так как \angle A_{0}A_{1}H=90^{\circ}
, то на этой окружности лежит и точка A_{1}
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Губанов С. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-9 классы, задача 9