16619. Пусть H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, E
и F
— точки на сторонах соответственно AB
и AC
, для которых AEHF
— параллелограмм, X
и Y
— точки пересечения прямой EF
с описанной окружностью \omega
треугольника ABC
, а Z
— точка на \omega
, диаметрально противоположная точке A
. Докажите, что H
— ортоцентр треугольника XYZ
.
Решение. Поскольку CH\perp AB
и FH\parallel AB
, то \angle CHF=90^{\circ}
. Аналогично, \angle BHE=90^{\circ}
. При этом \angle HBE=\angle HCF
, поэтому прямоугольные треугольники BHE
и CHF
подобны. Значит,
\frac{AF}{EB}=\frac{EH}{EB}=\frac{HF}{FC}=\frac{AE}{EC}~\Rightarrow~AE\cdot EB=AF\cdot FC
(т. е. равны степени точек E
и F
относительно окружности \omega
). Тогда
AF\cdot FC=FX\cdot FY=XF(EF+EY)=FX\cdot EF+FX\cdot EY,
AE\cdot EB=EY\cdot EX=EY(EF+FX)=EY\cdot EF+EY\cdot FX.
Из равенства
FX\cdot EF+FX\cdot EY=EY\cdot EF+EY\cdot FX
получаем, что FX=EY
. Значит, середина D
отрезка EF
является серединой хорды XY
. Тогда OD\perp XY
(см. задачу 1677), а так как ZE\perp XY
, то OD\parallel ZE
, поэтому OD
— средняя линия треугольника AHZ
, поэтому ZH\perp XY
. Значит, точка H
лежит на высоте треугольника XYZ
, проведённой из вершины Z
. При этом точка A
, симметричная H
относительно середины D
стороны XY
, лежит на описанной окружности треугольника XYZ
. Следовательно (см. примечание к задаче 6300), H
— ортоцентр треугольника XYZ
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 8-10 классы, задача 11