16628. В треугольнике
ABC
отношение медианы
AM
к стороне
BC
равно
\sqrt{3}:2
. На сторонах треугольника отмечены точки, делящие каждую сторону на три равные части. Докажите, что какие-то четыре из этих шести отмеченных точек лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Обозначим
BC=a
,
AC=b
и
AB=c
. Используя формулу медианы (см. задачу 4014), получаем
AM^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{3}{4}a^{2}~\Rightarrow~b^{2}+c^{2}=2a^{2}.

Тогда квадрат медианы, проведённой из вершины
B
,
\frac{1}{4}(2c^{2}+2a^{2}-b^{2})=\frac{1}{4}(2c^{2}-a^{2})=\frac{3}{4}c^{2}.

Аналогично, квадрат медианы, проведённой из вершины
C
, равен
\frac{3}{4}b^{2}
. Следовательно, треугольник, образованный медианами, подобен треугольнику
ABC
(с коэффициентом
\frac{\sqrt{3}}{2}
).
Пусть точки
A_{1}
и
A_{2}
лежат на стороне
BC
, точки
B_{1}
и
B_{2}
— на стороне
AC
, точки
C_{1}
и
C_{2}
—а стороне
AB
, причём
BA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}C,~CB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}A,~AC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}B.

Тогда, например, в треугольнике
BC_{1}A_{2}
медиана
C_{1}A_{1}
равна
\frac{2}{3}AM
. Значит, треугольник
A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику из медиан, а значит, и треугольнику
ABC
. Поэтому
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle A=\angle A_{1}C_{2}B.

Следовательно, четырёхугольник
A_{1}B_{1}C_{1}C_{2}
вписанный, т. е. описанная окружность треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
проходит через точку
C_{2}
.
Второй способ. Пусть отрезки
B_{1}C_{2}
и
A_{1}C_{1}
пересекаются в точке
O
. Покажем, что это диагонали вписанного четырёхугольника. Несложно найти, в каких отношениях они делят друг друга:
C_{1}O=A_{1}O=x,~B_{1}O=3y,~C_{2}O=y.

Также понятно, что
A_{1}C_{1}=\frac{2}{3}AM~\mbox{и}~B_{1}C_{2}=\frac{2}{3}BC,

откуда
\frac{A_{1}C_{1}}{B_{1}C_{2}}=\frac{AM}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Тогда
\frac{2x}{4y}=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Значит,
x^{2}=3y^{2}
, поэтому
B_{1}O\cdot C_{2}O=C_{1}O\cdot A_{1}O
. Следовательно, четырёхугольник
B_{1}C_{1}C_{2}A_{1}
(см. задачу 114). Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, финал, первый день, 9 класс, задача 1