16635. Точки A'
, B'
, C'
соответственно симметричны вершинам A
, B
и C
относительно противоположных сторон неравностороннего треугольника ABC
. Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C'
, A'BC'
и A'B'C
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть X
— вторая точка пересечения описанных окружностей треугольниковAB'C'
и A'BC'
. Учитывая, что из симметрии
\angle B'AC=\angle BAC'=\angle BAC=\angle CAB'=\alpha,
получим
\angle B'XC'=180^{\circ}-\angle B'AC'=180^{\circ}-(360^{\circ}-3\alpha)=3\alpha-180^{\circ}.
Аналогично, \angle A'XC'=3\beta-180^{\circ}
. Тогда
\angle A'XB'=\angle\angle B'XC'+\angle A'XC'=3(\alpha+\beta)-360^{\circ}=3(180^{\circ}-\gamma)-360^{\circ}=
=180^{\circ}-3\gamma=180^{\circ}-\angle A'CB'.
Следовательно, четырёхугольник XA'CB'
вписанный, т. е. точка X
лежит на описанной окружности треугольника A'B'C
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).
Автор: Погосян П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8 класс, задача 5