16636. В четырёхугольнике ABC
равны углы при вершинах B
и D
, а также равны стороны AD
и DC
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что середины отрезков AC
, BD
, AE
и CF
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины отрезков BD
, AC
, AE
и CF
соответственно. По теореме о средней линии треугольника LM\parallel BC
и LN\parallel AB
, поэтому \angle LMN=\angle CBA
.
С другой стороны,
\overrightarrow{KM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BE})~\mbox{и}~\overrightarrow{KN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BF}
(см. задачу 4504).
При этом DA=DC
, BE=BF
и угол между векторами \overrightarrow{DA}
и \overrightarrow{DC}
равен углу между векторами \overrightarrow{BE}
и \overrightarrow{BF}
. Значит, угол между векторами \overrightarrow{KM}
и \overrightarrow{KN}
, т. е. угол MKN
, равен эти углам.
Тогда из точек K
и L
, расположенных по одну сторону от прямой MN
, отрезок MN
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки K
, L
, M
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Что и требовалось доказать.
Автор: Бельский К. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8-9 классы, задача 8