16637. В трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
вписана окружность, которая касается сторон AB
, BC
, CD
и AD
в точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Прямая, проходящая через точку P
параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую QR
в точке X
. Докажите, что прямые AB
, QS
и DX
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть I
— центр данной вписанной окружности. Тогда
\angle PAI=\angle IAD=\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BPX=\angle BQP=\angle BPQ
(так как треугольник BPQ
равнобедренный). Значит, PQ\parallel AI
.
Пусть отрезки PX
и CD
пересекаются в точке E
. Поскольку треугольник RCQ
равнобедренный (CR=CQ
), то подобный ему треугольник REX
— тоже равнобедренный, а так как CEP
— его внешний угол, то
\angle PXQ=\frac{1}{2}\angle REP=\frac{1}{2}\angle CDA=\angle IDA.
Значит, QX\parallel ID
.
Таким образом, стороны треугольника PQX
соответственно параллельны сторонам треугольника AID
. Значит, эти треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). Следовательно, прямые AB
, QS
и DX
пересекаются в центре гомотетии. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, XX, заочный тур, 8-9 классы, задача 9