16641. В треугольнике ABC
проведены биссектриса AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Отрезки BB_{1}
и A_{1}C_{1}
пересекаются в точке D
. Точки P
и Q
лежат на сторонах AB
и BC
соответственно, причём EP=PD
и EQ=QD
. Докажите, что \angle PDB_{1}=\angle EDQ
.
Решение. Для любой точки отрезка A_{1}C_{1}
сумма расстояний от неё до прямых AB
и BC
равна расстоянию до прямой AC
(см. задачу 1630). Точка D
равноудалена от прямых AB
и BC
, поэтому каждое из этих расстояний равно половине DE
. Значит, D
— центр вписанной окружности треугольника BPQ
.
Поскольку PD
— биссектриса угла BPQ
, QD
— биссектриса угла BQP
, а прямая PQ
— серединный перпендикуляр к отрезку DE
(а значит, PQ
и QP
— биссектрисы углов DPE
и DQE
), то
\angle EPQ=\angle QPD=\angle BPD~\mbox{и}~\angle EQP=\angle PQD=\angle BQD.
Это означает, что прямые EP
и PB
— изогонали угла DPQ
треугольника DPQ
, а EQ
и QB
— изогонали угла DQP
этого треугольника. Прямые PD
, QD
и DB_{1}
пересекаются в точке D
, поэтому прямые DB_{1}
и DE
— изогонали угла PDQ
треугольника DPQ
(см. задачу 10176). Следовательно, \angle PDB_{1}=\angle EDQ
. Что и требовалось доказать.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, заочный тур, 9-11 классы, задача 16