16645. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Прямая l
, параллельная AC
, пересекает прямые AD
, BC
, AB
и CD
в точках X
, Y
, Z
и T
соответственно. Описанные окружности треугольников XYB
и ZTB
вторично пересекаются в точке R
. Докажите, что точка R
лежит на прямой BD
.
Решение. Пусть прямая BD
пересекает XT
в точке U
. Применяя теорему Менелая к треугольнику BUZ
и прямой DX
, а также к треугольнику BUY
и прямой DT
получаем
\frac{ZX}{XU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{BA}{AZ}=1~\mbox{и}~\frac{YT}{TU}\cdot\frac{UD}{DB}\cdot\frac{BC}{CY}=1,
а так как по теореме о пропорциональных отрезках \frac{BA}{AZ}=\frac{BC}{CY}
, то
\frac{ZX}{XU}=\frac{YT}{TU}~\Leftrightarrow~ZX\cdot TU=XU\cdot YT~\Leftrightarrow~(UX-UZ)\cdot UT=UX\cdot(UT-UY)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~UX\cdot UT-UZ\cdot UT=UX\cdot UT-UX\cdot UY~\Leftrightarrow~UZ\cdot UT=UX\cdot UY,
т. е. степени точки U
относительно обеих окружности равны. Следовательно, точка U
, а следовательно, и точка D
лежит на радикальной оси этих окружностей, т. е. на прямой BR
(см. задачу 6392). Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Шатунов Л. М.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, второй день, 8 класс, задача 7