16646. В остроугольном треугольнике ABC
точка H
— ортоцентр; A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания вписанной окружности со сторонами BC
, CA
и AB
соответственно; E_{A}
, E_{B}
и E_{C}
— середины отрезков AH
, BH
и CH
соответственно. Окружность с центром E_{A}
, проходящая через точку A
, повторно пересекает биссектрису угла A
в точке A_{2}
; точки B_{2}
и C_{2}
определены аналогично. Докажите, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
с углом \gamma
при вершине C
.
Точка A_{2}
лежит на окружности с диаметром AH
, поэтому
\angle IA_{2}H=\angle AA_{2}H=90^{\circ}.
Значит, точка A_{2}
лежит на окружности с диаметром IH
. Аналогично, на этой окружности лежат точки B_{2}
и C_{2}
. Вписанные в окружность углы A_{2}C_{2}B_{2}
и A_{2}IB_{2}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle A_{2}C_{2}B_{2}=\angle A_{2}IB_{2}=\angle180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle A_{1}C_{1}B_{1}
(см. задачи 4770 и 1752). Равенство остальных углов треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
доказывается аналогично. Следовательно, треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
подобны.
Аналогично для любого другого случая.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, первый день, 9 класс, задача 1