16647. Даны четыре точки A
, B
, C
и D
на плоскости, не являющиеся вершинами прямоугольника. Пусть стороны треугольника T
равны AB+CD
, AC+BD
и AD+BC
. Докажите, что треугольник T
остроугольный.
Решение. Заметим, что
(AB+CD)^{2}+(AD+BC)^{2}-(AC+BD)^{2}=
=(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-AC^{2}-BD^{2})++2(AB\cdot CD+AD\cdot BC-AC\cdot BD).
Вторая скобка неотрицательна по неравенству Птолемея (см. задачу 10938).
Пусть O
— произвольная точка. Обозначим
\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}.
Тогда первая скобка равна
(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^{2}+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})^{2}+(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})^{2}+(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^{2}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})^{2}=
=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})^{2}\geqslant0.
При этом первая скобка обращается в нуль тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, а вторая — тогда и только тогда, когда этот четырёхугольник вписанный. Поскольку ABCD
— не прямоугольник, оба условия не могут выполняться одновременно. Таким образом,
(AC+BD)^{2}\lt(AB+CD)^{2}+(AD+BC)^{2}.
Аналогично,
(AB+CD)^{2}\lt(AC+BD)^{2}+(AD+BC)^{2}~\mbox{и}~(AD+BC)^{2}\lt(AB+CD)^{2}+(AC+BD)^{2}.
Из этих трёх неравенств следует утверждение задачи (см. задачу 4004).
Примечание. Заметим, что приведённое рассуждение годится и для четырёх точек, лежащих на одной прямой: первая скобка обращается в нуль, когда одна из точек A
и C
лежит на отрезке BD
, а другая — вне его; вторая, когда середины отрезков AC
и BD
совпадают. Оба условия выполняться одновременно не могут.
Автор: Шекера А. Б.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, первый день, 9 класс, задача 2