16649. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Биссектриса угла ABD
пересекает диагональ AC
в точке E
, а биссектриса угла ACD
— диагональ BD
в точке F
. Докажите, что прямые AF
и DE
пересекаются на медиане треугольника APD
.
Решение. Поскольку
\angle BAP=\angle BAC=\angle CDB=\angle CDP,
треугольники APB
и DPC
подобны, поэтому, применив свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), получим
\frac{AE}{EP}=\frac{AB}{BP}=\frac{CD}{CP}=\frac{DF}{FP}.
Пусть PM
— медиана треугольника APD
. Тогда
\frac{AM}{MD}\cdot\frac{DF}{FP}\cdot\frac{PE}{EA}=\frac{1}{1}\cdot\frac{DF}{FP}\cdot\frac{FP}{DF}=1.
Следовательно, утверждение задачи вытекает из теоремы Чевы.
Автор: Шевцов А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XX, финал, первый день, 10 класс, задача 1