16656. Точка N
середина стороны AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а точка M
лежит на стороне AB
, причём CM\perp BD
. Докажите, что если BM\gt MA
, то 2BC+AD\gt2CN
.
Решение. Обозначим через P
точку пересечения CM
и BD
. Опустим перпендикуляр AQ
на прямую BD
. Поскольку BM\gt AM
, из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что BP\gt PQ
, т. е. проекция BP
отрезка BC
на прямую BD
больше проекции PQ
на эту прямую отрезка CQ
. Значит, BC\gt CQ
.
Отрезок QN
— медиана прямоугольного треугольника AQD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому QN=\frac{1}{2}AD
(см. задачу 1109). В силу неравенства треугольника,
CN\leqslant CQ+QN\lt BC+\frac{1}{2}AD.
Следовательно,
2BC+AD\gt2CN.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022-23, XV, 27-30 марта 2023, третий заключительный этап, первый день, задача 2