16660. В трапеции ABCD
точки M
и N
— середины оснований AD
и BC
соответственно.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная, если известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на отрезке MN
.
б) Остаётся ли утверждение пункта а) в силе, если известно лишь, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на прямой MN
?
Решение. а) Пусть AD\gt BC
, лучи AB
и DC
пересекаются в точке R
. Обозначим середины боковых сторон AB
и CD
соответственно через K
и P
(рис. 1), а середину отрезка KP
— через O
. Точки R
, M
, N
и O
лежат на одной прямой (см. задачу 2607).
Пусть F
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB
и CD
. Из условия задачи и из предположения AD\gt BC
следует, что точка F
лежит на отрезке OM
и ON=OM\geqslant OF
. Заметим, что точки K
и P
лежат на окружности с диаметром RF
. Тогда, так как KO=OP
и RO\gt OF
(следовательно, O
не является центром этой окружности), то RF\perp KP
(диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде, см. задачу 1677), значит RM\perp AD
. Это означает, что треугольник RAD
равнобедренный. Следовательно, трапеция ABCD
также равнобедренная.
б) В этом случае трапеция, вообще говоря, может быть не равнобедренной. Действительно, рассмотрим неравнобедренную трапецию ABCD
, в которой AB\perp CD
. Тогда KRPF
— прямоугольник (см. обозначения из предыдущего пункта), поэтому его диагональ RF
проходит через середину O
диагонали KP
, т. е. RF
и KP
— диаметры описанной окружности прямоугольника KRPF
. Таким образом, точка F
лежит на прямой RO
, т. е. на прямой MN
. Таким образом, мы получаем нужный пример.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2011, VII, первый день, задача 1