16667. Углы треугольника, противолежащие сторонам, равным a
, b
и c
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что
2(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma)\geqslant\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Решение. Применив теорему синусов, получим
\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\frac{a^{2}}{b^{2}}}{1+\frac{c^{2}}{b^{2}}}+\frac{\frac{b^{2}}{c^{2}}}{1+\frac{a^{2}}{c^{2}}}+\frac{\frac{c^{2}}{a^{2}}}{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=
=\frac{\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta}}{1+\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\beta}}+\frac{\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\gamma}}{1+\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\gamma}}+\frac{\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha}}{1+\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}}=\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}.
По неравенству Коши—Буняковского (см. задачу 7946)
\sin^{2}\alpha=\sin^{2}(\beta+\gamma)=(\sin\beta\cos\gamma+\sin\gamma\cos\beta)^{2}\leqslant(\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma)(\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma),
откуда
\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\geqslant\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}.
Аналогично,
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta\geqslant\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}~\mbox{и}~\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\gamma\geqslant\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\gamma}.
Сложив эти три неравенства, получим
2(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma)\geqslant\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\gamma}+\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}=
=\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2019, XIV, первый день, задача 1