16672. Дана трапеция ABCD
(AD\parallel BC
), с тупым углом при вершине B
. На боковой стороне отмечена точка M
. Обозначим через O_{1}
и O_{2}
центры описанных окружностей треугольников MAD
и MBC
соответственно. Известно, что описанные окружности треугольников MO_{1}D
и MO_{2}C
вторично пересекаются в точке N
. Докажите, что прямая O_{1}O_{2}
проходит через точку N
.
Решение. Центральный угол MO_{1}D
описанной окружности треугольника MAD
вдвое больше соответствующего вписанного угла CMD
, а центральный угол MO_{2}C
описанной окружности треугольника MBC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BMC
, поэтому
\angle MO_{1}D=2\angle MAD=2(180^{\circ}-\angle MBC)=360^{\circ}-2\angle MBC=\angle MO_{2}C.
Значит, равнобедренные треугольники MO_{1}D
и MO_{2}C
подобны. Тогда \frac{MC}{MD}=\frac{MO_{2}}{MO_{1}}
и
\angle O_{1}MO_{2}=\angle DMO_{1}+\angle DMO_{2}=\angle CMO_{2}+\angle DMO_{2}=\angle DMC.
Следовательно, подобны треугольники O_{1}MO_{2}
и DMC
.
Пусть K
— точка пересечения прямых O_{1}O_{2}
и CD
. Тогда
\angle MO_{1}K=\angle MO_{1}O_{2}=\angle MDC=\angle MDK.
Значит (см. задачу 12), точки M
, O_{1}
, D
и K
лежат на некоторой окружности, поэтому
\angle CMO_{2}=\angle O_{1}MD=\angle O_{1}KD=\angle O_{2}KC.
Тогда точки M
, O_{2}
, C
и K
тоже лежат на некоторой окружности \omega
, а так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то окружность \omega
совпадает с описанной окружность треугольника MO_{2}C
. Значит, точка K
, лежащая на прямой O_{1}O_{2}
, совпадает с точкой N
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2013, IX, первый день, задача 1