16674. Точка D
лежит на стороне AB
остроугольного треугольника ABC
. Точки M
и N
— проекции точки D
на стороны BC
и AC
соответственно. Точки H_{1}
и H_{2}
— ортоцентры треугольников MNC
и MND
соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника AH_{1}BH_{2}
не зависит от положения точки D
на стороне AB
.
Решение. Прямые NH_{1}
и DM
параллельны, так как они обе перпендикулярны прямой BC
. Аналогично, MH_{1}\parallel DN
, значит, NDMH_{1}
— параллелограмм. Тогда NH_{1}=DM
. Аналогично, NCMH_{2}
— параллелограмм. Тогда CN=MH_{2}
. При этом прямые CH_{1}
и DH_{2}
параллельны, так как обе они перпендикулярны MN
. Стороны треугольника CNH_{1}
соответственно параллельны сторонам треугольника H_{2}MD
. Значит, \angle CNH_{1}=\angle H_{2}MD
. Тогда эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, CH_{1}=DH_{2}
, а так как CH_{1}=DH_{2}
, то CH_{1}H_{2}
— параллелограмм, и поэтому H_{1}H_{2}=CD
.
Обозначим \angle ADC=\varphi
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin\varphi+\frac{1}{2}BD\cdot CD\sin(180^{\circ}-\varphi)=
=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin\varphi+\frac{1}{2}BD\cdot CD\sin\varphi=\frac{1}{2}(AD+BD)\cdot CD\sin\varphi=
=\frac{1}{2}(AD+BD)\cdot CD\sin\varphi=\frac{1}{2}AB\cdot CD\sin\varphi.
В то же время (см. задачу 3018),
S_{AH_{1}BH_{2}}=\frac{1}{2}AB\cdot H_{1}H_{2}\sin\varphi=\frac{1}{2}AB\cdot CD\sin\varphi=S_{\triangle ABC}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2012, VIII, первый день, задача 1