16679. Внутри квадрата ABCD
проведены несколько отрезков, как на рисунке. Отмеченные углы равны. Докажите, что BN=DM
.
Решение. Рассмотрим поворот на 90^{\circ}
вокруг точки A
, переводящий B
в D
. Пусть при этом повороте точка N
переходит в N'
, а точка L
— в L'
. При повороте на 90^{\circ}
любая прямая переходит в перпендикулярную ей прямую. Следовательно, L'N'\perp LN\parallel AK
и AL'\perp AL\parallel KM
. Получается, что прямые AD
, L'N'
и KM
содержат высоты треугольника AKL'
. Значит, они пересекаются в одной точке, т. е. точки M
и N'
совпадают. Тогда DM=DN'=BN
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Из равенства BN=DM
несложно получить равенство
MK^{2}+AL^{2}=DM^{2}+DK^{2}+BL^{2}+AB^{2}=BN^{2}+BL^{2}+DK^{2}+AD^{2}=NL^{2}+AK^{2}.
(См. также задачу 5458.)
Автор: Кноп К. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 4, с. 30, задача 31; № 7, с. 48