16684. Четыре квадрата с площадями a
, b
, c
, d
расположены в круге, как показано на рисунке. Докажите, что ac=bd
.
Решение. Проведём диагонали квадратов: AO
, BO
, CO
, DO
. Сторона квадрата с площадью a
равна \sqrt{a}
, его диагональ AO
равна \sqrt{2a}
. Аналогично находятся длины других диагоналей. Условие ac=bd
равносильно условию \sqrt{2a}\cdot\sqrt{2c}=\sqrt{2b}\cdot\sqrt{2d}
, т. е. OA\cdot OC=OB\cdot OB
. Последнее равенство верно (см. задачу 2627).
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2024, задача 23
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 2, с. 29, задача 23; № 4, с. 46, задача 23