16686. Окружность
\omega
лежит внутри окружности
\Omega
и касается её внутренним образом в точке
T
. Пусть
XY
— переменная хорда окружности
\Omega
, касающаяся
\omega
. Обозначим
X'
и
Y'
середины дуг
TY
и
TX
, не содержащих точек
X
и
Y
соответственно. Докажите, что всевозможные прямые
X'Y'
проходят через фиксированную точку.
Решение. Мы докажем, что прямые
X'Y'
пересекают диаметр
TS
окружности
\Omega
в фиксированной точке
K
.
Пусть
L
— точка касания
XY
и
\omega
. Тогда по лемме Архимеда о сегменте (см. задачу 89) прямая
TL
пересекает вторично окружность
\Omega
в середине
Z
дуги
XY
, поэтому
TZ
— биссектриса угла
XTY
. Значит,
XX'
,
YY'
и
TZ
пересекаются в одной точке
I
— центре вписанной окружности треугольника
XYT
.
Пусть
X'Y'
пересекает
TZ
в точке
R
. Из равенств
\angle Y'X'X=\angle TX'Y'
и
\angle X'Y'Y=\angle TY'X'
следует, что треугольники
X'Y'I
и
X'Y'T
симметричны относительно прямой
X'Y'
. Отсюда
TI=2TR
и
TZ\perp X'Y'
, значит,
\angle TRK=\angle TZS=90^{\circ}~\Rightarrow~KR\parallel SZ.

Нам достаточно доказать, что отношение
\frac{TK}{TS}
постоянно, а так как
\frac{TK}{TS}=\frac{TR}{TZ}=\frac{TI}{2TZ},

достаточно понять, что постоянно отношение
\frac{TI}{TZ}
, или что постоянно отношение
\frac{ZI}{ZT}
. По теореме о трилистнике (см. задачу 788)
ZX=ZI
, поэтому достаточно установить, что
\frac{ZX}{ZT}
постоянно.
Из гомотетии с центром
T
следует, что
\frac{TL}{TZ}=\frac{r}{R}
(где
r
и
R
— радиусы окружностей
\omega
и
\Omega
соответственно), а так как
\angle ZXL=\angle ZXY=\frac{1}{2}\smile ZY=\smile ZX=\angle ZTX,

то треугольники
ZXL
и
ZTX
с общим углом при вершине
Z
подобны по двум углам. Значит,
\frac{ZL}{ZX}=\frac{ZX}{ZT}~\Rightarrow~ZL\cdot ZT=ZX^{2}~\Rightarrow~\frac{R-r}{R}ZT\cdot ZT=ZX^{2}~\Rightarrow~\frac{ZX}{ZT}=\sqrt{\frac{R-r}{R}}.

Таким образом, отношение
\frac{ZX}{ZT}
постоянно. Отсюда следует утверждение задачи.
(Решение П.Кожевникова и Ф.Петрова.)
Примечание. Отметим, что в данной конструкции есть много интересных инвариантов. Например, из последних рассуждений и теоремы синусов несложно обнаружить, что радиус описанной окружности треугольника
XZL
постоянен. Задача с такой постановкой предлагалась на Всероссийской олимпиаде 2001 года (см. задачу 6492, автор Т.Емельянова).
Автор: Петров Ф. В.
Источник: Журнал «Квант». — 2023, № 11-12, M2773, с. 26; 2024, № 2, M2773, с. 24
Источник: Задачник «Кванта». — 2023, M2773