16688. Высоты BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
.
а) Докажите, что \angle AHB_{1}=\angle ACB
.
б) Найдите длину стороны BC
, если AH=6
и \angle BAC=45^{\circ}
.
Ответ. 6.
Решение. а) В четырёхугольнике AC_{1}HB_{1}
углы C_{1}
и B_{1}
прямые, значит, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH
— её диаметр. Вписанные углы AC_{1}B_{1}
и AHB_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AHB_{1}=\angle AC_{1}B_{1}
.
Углы BC_{1}C
и BB_{1}C
прямые, значит, точки B
, C
, B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром BC
. Значит,
\angle AC_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle BC_{1}B_{1}=\angle BCB_{1}=\angle ACB.
Следовательно, \angle ACB=\angle AHB_{1}
.
б) Диаметр AH
описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
равен 6, поэтому по теореме синусов
B_{1}C_{1}=AH\sin\angle BAC=AH\sin45^{\circ}=3\sqrt{2}.
Из прямоугольных треугольников BB_{1}A
и CC_{1}A
получаем
AB_{1}=AB\cos\angle BAB_{1}=AB\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}AB,
AC_{1}=AC\cos\angle CAC_{1}=AC\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}AC.
Поскольку \frac{AB}{AB_{1}}=\frac{AC}{AC_{1}}
, треугольники ABC
и AB_{1}C_{1}
с общим углом при вершине A
подобны. Тогда
\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=\frac{AC}{AC_{1}}=\sqrt{2}.
Следовательно,
BC=B_{1}C_{1}\sqrt{2}=6.
Примечание. Также можно воспользоваться известным фактом (см. задачу 19): треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен |\cos\angle C|
.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 17