16692. Дана окружность с центром O
, угол ANB
касается её в точках A
и B
. Отрезок BC
— диаметр окружности.
а) Докажите, что прямая AC
параллельна биссектрисе угла ANB
.
б) Найдите NO
, если AB=24
и AC=10
.
Ответ. \frac{169}{5}=33{,}2
.
Решение. а) Поскольку NA=NB
, треугольник ANB
равнобедренный, поэтому биссектриса его угла ANB
перпендикулярна основанию AB
. При этом точка A
лежит на окружности с диаметром BC
, поэтому \angle BAC=90^{\circ}
. Значит, AB\perp AC
. Прямые NO
и AC
перпендикулярны одной и той же прямой AB
. Следовательно, они параллельны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть M
— точка пересечения NO
и AB
. Высота NM
равнобедренного треугольника ANB
является медианой, поэтому M
— середина отрезка AB
. Тогда MO
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MO=\frac{1}{2}AC=5
.
Из прямоугольного треугольника BOM
по теореме Пифагора находим, что
BO=\sqrt{MO^{2}+BM^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13,
а так как BM
— высота прямоугольного треугольника OBN
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 1180)
BO^{2}=MO\cdot NO~\Rightarrow~NO=\frac{BO^{2}}{OM^{2}}=\frac{13^{2}}{5}=\frac{169}{5}=33{,}2.
Источник: ЕГЭ. — 2024, профильный уровень, задача 17