16695. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. На сторонах AB
и AC
отмечены точки P
и Q
соответственно. Оказалось, что описанная окружность треугольника APO
касается прямой BO
, описанная окружность треугольника AQO
касается прямой CO
, а периметр треугольника APQ
равен AB+AC
. Найдите величину угла BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Описанная окружность треугольника APO
касается прямой BO
, поэтому по теореме об угле между касательной и хордой \angle POB=\angle PAO
(см. задачу 87). Кроме того, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому OA=OB
, значит, \angle OAB=\angle OBA
. Тогда \angle POB=\angle PBO
. Следовательно, PB=PO
. Аналогично, QO=QC
.
По условию,
AP+AQ+PQ=AB+AC~\Rightarrow~PQ=PB+QC,
а так как PB=PO
и QO=QC
, то
PQ=PO+OQ.
Значит, точки P
, O
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
180^{\circ}=(\angle POB+\angle QOC)+\angle BOC=(\angle PAO+\angle QAO)+\angle BOC=
=\angle BAC+2\angle BAC=3\angle BAC,
откуда \angle BAC=60^{\circ}
.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2021, XLIII, заключительный тур, апрель, задание 3