16707. На сторонах BC
и CD
квадрата ABCD
отмечены точки E
и K
соответственно. Известно, что AE=2
, EK=1
, AK=\sqrt{5}
.
а) Докажите, что \angle BAE=\angle CEK
.
б) Найдите площадь квадрата ABCD
.
Ответ. \frac{16}{5}=3{,}2
.
Решение. а) Поскольку
AE^{2}+EK^{2}=4+1=5=AK^{2},
треугольник AEK
прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 1972). Следовательно,
\angle CEK=90^{\circ}-\angle AEB=\angle BAE.
Что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABE
и ECK
подобны с коэффициентом, равным отношению их гипотенуз, т. е. \frac{EK}{AE}=\frac{1}{2}
. Пусть AB=2y
и BE=2x
. Тогда EC=y
и BC=2x+y
, а так как AB=BC
, то из равенства 2y=2x+y
получаем, что y=2x
. Значит, AB=4x
.
По теореме Пифагора
AB^{2}+BE{2}=AE^{2}~\mbox{или}~16x^{2}+4x^{2}=4,
откуда x^{2}=\frac{1}{5}
. Следовательно, площадь квадрата ABCD
равна
AB^{2}=16x^{2}=16\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2.
Источник: ЕГЭ. — 2024, профильный уровень, задача 17