16712. В квадрат ABCD
вписали квадрат KLMN
, как показано на рисунке. Отметили центры вписанных окружностей получившихся прямоугольных треугольников. Докажите, что они являются вершинами квадрата, равного KLMN
.
Решение. Треугольники NAK
, KBL
, LCM
и MDN
равны. Обозначим их катеты через a
и b
, гипотенузы — через c
, радиусы вписанных окружностей — через r
. Тогда сторона квадрата ABCD
равна a+b
.
Центры вписанных окружностей треугольников KBL
и LCM
удалены от прямой BC
на расстояние r
. Поэтому соединяющий их отрезок параллелен стороне квадрата ABCD
. Значит, все четыре центра образуют квадрат со стороной
AB-2r=a+b-2r.
Известно (см. задачу 217), что в прямоугольном треугольнике
a+b-2r=c,
поэтому стороны этого квадрата равны c
, как и длина стороны квадрата KLMN
. Что и требовалось доказать.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2014-2015, XXXIIIX, заключительный тур, март 2015, задача 3