16713. В треугольнике ABC
угол B
равен 90^{\circ}
, на стороне BC
отмечена точка M
, для которой BM:MC=1:2
, точка N
— середина AC
. Докажите, что угол AMB
равен углу CMN
.
Решение. Поскольку треугольник прямоугольный, BN=AN=CN
(см. задачу 1109). Значит, \angle NBC=\angle NCB
.
Рассмотрим треугольники AMC
и NMB
. В них
AC=2BN,~CM=2BM,~\angle NBC=\angle NCB.
Значит, эти треугольники подобны (с коэффициентом 2), и \angle AMC=\angle BMN
. Тогда
\angle AMB=\angle BMN-\angle AMN=\angle AMC-\angle AMN=\angle CMN.
Что и требовалось доказать.
Источник: Турнир им. М. В. Ломоносова. — 2013-2014, XXXVI, заключительный тур, март 2014, задача 3