16715. В четырёхугольнике ABCD
, вписанном в окружность, известно, что AB=48
, BC=60
, CD=24
, AD=12
. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
, а прямые AD
и BC
— в точке F
. Найдите квадрат длины отрезка EF
.
Ответ. 2849.
Решение. Из подобия треугольников ADE
и CBE
следует, что
\frac{BE}{DE}=\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AD}.
Обозначая AE=x
и DE=y
, получаем систему уравнений
\frac{x+48}{y}=\frac{y+24}{x}=\frac{60}{12},
откуда x=7
и y=11
. Аналогично находим, что DF=44
и CF=28
.
Пусть \angle ABC=\beta
. Тогда \angle EDF=180^{\circ}-\beta
. По теореме косинусов для треугольников BEF
и DEF
, получаем
EF^{2}=55^{2}+88^{2}-2\cdot55\cdot88\cos\beta=11^{2}+44^{2}-2\cdot11\cdot44\cos(180^{\circ}-\beta).
Решив эти уравнения, находим, EF^{2}=2849
.
Примечание. Также можно применить теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636)
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, первый этап, второй день, 11 класс, задача 7а