16718. Две окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
, а их общая касательная имеет с \Omega_{1}
и \Omega_{2}
общие точки C
и D
соответственно, причём точка B
расположена ближе к прямой CD
, чем точка A
. Луч CB
пересекает \Omega_{2}
в точках B
и E
. Найдите отношение ED:CD
, если диагональ AD
четырёхугольника ACDE
делит отрезок CE
в отношении 2:5
, считая от вершины C
.
Ответ. \sqrt{\frac{5}{2}}
.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой угол ADC
равен половине дуги AD
. По теореме о вписанном угле угол AED
также равен половине дуги AD
. Следовательно, \angle AED=\angle ADC
.
Обозначим \angle ADE=\beta
и заметим, что
\angle ABE=\angle ADE=\beta,~\angle ABC=180^{\circ}-\angle ABE=180^{\circ}-\beta.
Кроме того,
\angle ABC+\angle ACD=180^{\circ}
(второй угол равен половине дуги ABC
как угол между касательной и хордой; первый угол вписан в окружность и опирается на дугу AC
, не содержащую точку B
), откуда
\angle ACD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-(180^{\circ}-\beta)=\beta.
Значит, в треугольниках ADE
и ACD
есть по два равных угла. Во-первых, это означает, что третьи углы этих треугольников также равны (то есть AD
— биссектриса угла CAE
), а во-вторых — что треугольники подобны. Из подобия получаем пропорциональность сторон:
\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{ED}{CD}.
Тогда
\left(\frac{ED}{CD}\right)^{2}=\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AC}.
Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABDE
через M
. Учитывая сказанное выше, получаем, что AM
— биссектриса треугольника ACE
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{CM}{ME}=\frac{AC}{AE}
. Следовательно,
\frac{ED}{CD}=\sqrt{\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{ME}{CM}}=\sqrt{\frac{5}{2}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, заключительный этап, 11 класс, задача 4, вариант 1