16730. Угол A
остроугольного треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, а AB\gt AC
. Пусть I
— точка пересечения биссектрис, а H
— точка пересечения высот этого треугольника. Найдите \angle ABC
, если \angle AHI=78^{\circ}
. Ответ укажите в градусах.
Ответ. 52^{\circ}
.
Решение. Пусть точки N
и K
симметричны точкам соответственно I
и H
относительно прямой BC
. Тогда IHKN
— равнобедренная трапеция, а
\angle NBC=\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC.
Обозначим через \Omega
окружность, описанную около треугольника ABC
. В любом треугольнике точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно одной из его сторон, лежит на окружности, описанной около этого треугольника (см. задачу 4785), поэтому точка K
лежит на \Omega
. Далее находим, что
\angle BNC=\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}
(см. задачу 4770). Значит, сумма противоположных углов четырёхугольника ABNC
равна 180^{\circ}
, и точка N
лежит на окружности \Omega
. Тогда
\angle AHI=180^{\circ}-\angle ANK=\angle ABN=\frac{3}{2}\angle ABC.
Следовательно,
\angle ABC=\frac{2}{3}\angle AHI=52^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 11 класс, задача 10, вариант а