16744. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
, а AA_{1}
и BB_{1}
— его высоты. Найдите расстояние от точки O
до стороны AC
, если AB_{1}=6
, а площадь треугольника OBA_{1}
равна 6.
Ответ. 2.
Решение. Пусть M
и N
— середины BC
и AC
соответственно. Треугольники BAA_{1}
и ONA
подобны как прямоугольные с равными острыми углами \angle OAN=\angle BAA_{1}
(см. задачу 20). Прямоугольные треугольники AB_{1}B
и OMC
тоже подобны, так как
\angle BAB_{1}=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle COM.
Значит,
\frac{BA_{1}}{ON}=\frac{AB}{AO}~\mbox{и}~\frac{AB_{1}}{OM}=\frac{AB}{CO}.
Разделив первое равенство на второе, получаем BA_{1}\cdot OM=AB_{1}\cdot ON
. Поскольку BA_{1}\cdot OM
есть удвоенная площадь треугольника OBA_{1}
, а AB_{1}\cdot ON
— удвоенная площадь треугольника OAB_{1}
, получаем, что
S_{\triangle OBA_{1}}=S_{\triangle OAB_{1}}=\frac{1}{2}AB_{1}\cdot ON~\Rightarrow~ON=\frac{2S_{\triangle OBA_{1}}}{AB_{1}}=\frac{12}{6}=2.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 10 класс, задача 5, вариант 13