16748. В треугольнике ABC
проведены высота AH
и биссектриса AD
. Точка H
лежит между точками B
и D
. Известно, что BH=1
, HD=3
и CD=12
. Найдите \sin\angle HAD
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника AD:CD=AB:AC
(см. задачу 1509), поэтому, если AB=x
, AC=3x
. По теореме Пифагора
AH^{2}=x^{2}-1~\mbox{и}~AH^{2}=9x^{2}-225.
Из уравнения
x^{2}-1=9x^{2}-225
находим, что
x^{2}=28~\Rightarrow~AH^{2}=x^{2}-1=27.
Тогда
AD=\sqrt{AH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{27+9}=6~\Rightarrow~\sin\angle HAD=\frac{HD}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 9 класс, задача 7, вариант а