16750. В равносторонний треугольник PQR
вписана окружность. Высота PH
пересекает эту окружность в точке A
, отличной от H
. Прямая AQ
пересекает окружность в точке B
, отличной от A
. Найдите радиус окружности, если известно, что AB=\sqrt{63}
.
Ответ. \frac{21}{4}=5{,}25
.
Решение. Обозначим радиус окружности через x
. Тогда сторона треугольника равна 2x\sqrt{3}
, а AH=2x
. По теореме Пифагора
AQ^{2}=AH^{2}+HQ^{2}=4x^{2}+3x^{2}=7x^{2}.
По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
QH^{2}=QB\cdot QA,~3x^{2}=x\sqrt{7}\cdot QB,~QB=\frac{3x}{\sqrt{7}},
AB=AQ-QB=x\sqrt{7}-\frac{3x}{\sqrt{7}}=\frac{4x}{\sqrt{7}},
а так как по условию AB=\sqrt{63}
, то
x=\frac{AB\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}{4}=\frac{21}{4}=5{,}25.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 9 класс, задача 9, вариант а