16754. Точки E
, F
, G
, H
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
выпуклого четырёхугольника ABCD
соответственно, а точки J
и K
— середины его диагоналей BD
и AC
соответственно. Прямая, проходящая через точку J
параллельно AC
, и прямая, проходящая через точку K
параллельно BD
, пересекаются в точке N
. Найдите площадь четырёхугольника AHNE
, если известно, что 3S(DGJH)+5S(EJFB)=11
(через S(F)
обозначена площадь фигуры F
).
Ответ. 1,375.
Решение. Если угол между диагоналями четырёхугольника ABCD
равен \alpha
, а площадь равна S
, то
S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha
(см. задачу 3018).
Поскольку KN\parallel BD
, а HE
— средняя линия треугольника ADB
, то
S(HNE)=S(HKE)~\mbox{и}~HE=\frac{1}{2}BD.
Значит,
S(AHNE)=S(AHE)+S(HNE)=S(AHE)+S(HKE)=S(AHKE)=
=\frac{1}{2}AK\cdot HE\sin\alpha=\frac{1}{4}AC\cdot HE\sin\alpha=\frac{1}{8}AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{1}{4}S(ABCD).
В то же время, четырёхугольник DGJH
гомотетичен четырёхугольнику DCBA
с центром гомотетии D
и коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому
S(DGJH)=\frac{1}{4}S(DCBA)=\frac{1}{4}S(ABCD).
Аналогично, S(EJFB)=\frac{1}{4}S(ABCD)
. Значит,
11=3S(DGJH)+5S(EJFB)=3\cdot\frac{1}{4}S(ABCD)+5\cdot\frac{1}{4}S(ABCD)=2S(ABCD),
откуда S(ABCD)=\frac{11}{2}
. Следовательно,
S(AHNE)=\frac{1}{4}S(ABCD)=\frac{1}{4}\cdot\frac{11}{2}=\frac{11}{8}=1{,}375.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, второй этап, 9 класс, задача 6, вариант а