16758. Продолжения сторон BC
(за точку C
) и AD
(за точку D
) вписанного в окружность четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Центр O
окружности, вписанной в треугольник ABE
, лежит на отрезке CD
. Найдите наименьшее возможное значение суммы ED+DO
, если известно, что BE=10
.
Ответ. 10.
Решение. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180^{\circ}
. Значит, что
\angle EDO=180^{\circ}-\angle ADO=\angle ABC=\angle MBC.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, поэтому \angle DEO=\angle BEO
, а точка O
лежит на биссектрисе угла B
.
Пусть биссектриса EO
угла AEB
пересекает AB
в точке M
. Треугольники DEO
и BEM
подобны по двум углам, откуда
\frac{ED}{BE}=\frac{DO}{BM}=\frac{EO}{EM}.
По свойству пропорций получаем
\frac{ED+DO}{BE+BM}=\frac{EO}{EM},
поэтому,
ED+DO=\frac{(BE+BM)EO}{EM}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем
\frac{BE}{BM}=\frac{EO}{OM}~\Rightarrow~\frac{EO}{EM}=\frac{BE}{BM+BE}.
Следовательно,
ED+DO=\frac{(BE+BM)EO}{EM}=(BE+BM)\cdot\frac{EO}{EM}=(BE+BM)\cdot\frac{BE}{BM+BE}=BE.
Таким образом, сумма ED+DO
может принимать одно-единственное значение 10.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, заключительный этап, 9 класс, задача 5, вариант 9