16770. Пусть B
и C
— точки пересечения двух окружностей равных радиусов. На первой окружности выбрана точка A
. Луч AB
пересекает вторую окружность в точке D
, отличной от B
. На луче DC
выбрана точка E
, для которой DC=CE
. Найдите угол CEA
, если угол CDB
равен 50^{\circ}
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Докажем сначала, что угол DAE
прямой. Соединим точки A
и C
. Общая хорда двух равных окружностей стягивает равные дуги этих окружностей, поэтому опирающиеся на эти дуги вписанные углы BAC
и BDC
равны. Тогда треугольник ACD
равнобедренный, поэтому AC=CD=CE
(последнее — в силу условия задачи). Значит, точка C
— центр окружности, описанной около треугольника DAE
. Отрезок DE
— диаметр этой окружности, поэтому угол прямой (см. задачу 1109).
Следовательно,
\angle CEA=\angle DEA=90^{\circ}-\angle ADE=90^{\circ}-\angle CDB=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, четвёртый этап, 10 класс, задача 3, вариант 1