16774. Высоты CF
и AE
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точки M
и N
— середины отрезков AH
и CH
соответственно. Известно, что FM=2
, EN=5
, и при этом FM\parallel EN
. Найдите \angle ABC
, площадь треугольника ABC
и радиус описанной около него окружности.
Ответ. \angle ABC=60^{\circ}
, S_{\triangle ABC}=36\sqrt{3}
, R=2\sqrt{13}
.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109). Поскольку FM
и EN
— медианы треугольников AFH
и CEH
, то
HM=AM=FM=2,~CN=EN=HN=5.
Обозначим \angle AHF=\angle CHE=\alpha
. Тогда
\angle EHF=180^{\circ}-\alpha,~\angle EBF=\alpha,
(так как в четырёхугольнике BFHE
углы E
и F
прямые).
Далее находим, что \angle MFH=\alpha
(треугольник NFH
равнобедренный), \angle NEH=\alpha
(треугольник NEH
равнобедренный), \angle ENH=180^{\circ}-2\alpha
. Поскольку EN\parallel FM
, углы MFH
и NEH
равны как накрест лежащие, поэтому
\alpha=180^{\circ}-2\alpha~\Rightarrow~\alpha=60^{\circ}.
Таким образом, \angle ABC=\alpha=60^{\circ}
.
В треугольнике ACH
известно, что CH=10
, AH=4
, \angle AHC=120^{\circ}
. По теореме косинусов находим, что
AC^{2}=10^{2}+4^{2}-2\cdot10\cdot4\cdot\cos120^{\circ}=100+16+40=156~\Rightarrow~AC=2\sqrt{39}.
Пусть радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
. Тогда
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{13}.
Треугольник BCF
прямоугольный с углом 60^{\circ}
при вершине B
, и при этом
HF=2,~CF=CH+HF=10+2=12.
Значит,
BC=\frac{CF}{\sin60^{\circ}}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}.
Кроме того,
AH=4,~HE=HN=5~AE=4+5=9.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}\cdot8\sqrt{3}\cdot9=36\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2021, заключительный этап, 9 класс, задача 1, вариант 13