16776. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, и при этом треугольники BOC
и AOD
— правильные. Точка T
симметрична точке O
относительно середины стороны CD
.
а) Докажите, что ABT
— правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что BC=2
, AD=3
. Найдите отношение площади треугольника ABT
к площади четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{19}{25}
.
Решение. а) Очевидно, что ABCD
— равнобедренная трапеция, поэтому вокруг неё можно описать окружность (назовём её \Omega
). Диагонали четырёхугольника CODT
точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом
\angle CTD=\angle COD=180^{\circ}-\angle AOD=120^{\circ},
Поскольку \angle CAD=60^{\circ}
, в четырёхугольнике CADT
сумма противоположных углов равна 180^{\circ}
, поэтому около него тоже можно описать окружность. Следовательно, все пять точек A
,B
, C
, T
, D
лежат на окружности \Omega
. Углы ATB
и ACB
вписаны в окружность \Omega
и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны, и \angle ATB=60^{\circ}
.
Далее отметим, что \angle DBT=\angle DCT
(вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), \angle DCT=\angle BDC
(так как BD\parallel CT
), \angle BDC=\angle BAT
(трапеция равнобокая). Отсюда следует, что
\angle ABT=\angle ABD+\angle DBT=\angle ABD+\angle BAC=180^{\circ}-\angle AOB=60^{\circ}.
В треугольнике ABT
два угла равны 60^{\circ}
. Следовательно, он равносторонний. Что и требовалось доказать.
б) По теореме косинусов из треугольника AOB
находим, что
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2AO\cdot BO\cos120^{\circ}=2^{2}+3^{2}+2\cdot3\cdot2\cdot\frac{1}{2}=19.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади треугольника ABT
и трапеции ABCD
соответственно. Тогда (см. задачу 3018)
S_{1}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{19\sqrt{3}}{4}~\mbox{и}~S_{2}=\frac{1}{2}AC^{2}\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot5^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}.
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{19\sqrt{3}}{4}}{\frac{25\sqrt{3}}{4}}=\frac{19}{25}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2021, заключительный этап, 9 класс, задача 6, вариант 13