16780. Дан квадрат со стороной 1. Найдите геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до прямых, содержащих его стороны, равна 4.
Ответ. Граница восьмиугольника, симметричного относительно центра данного квадрата, причём все углы восьмиугольника равны по 135^{\circ}
, а стороны длины 1 и длины \sqrt{2}
чередуются (см. рис. 1).
Решение. Рассмотрим декартову систему координат на плоскости и расположим данный квадрат так, чтобы его центром была точка (0;0)
, а стороны были параллельны осям координат (рис. 2). Заметим, что для любой точки, принадлежащей данному квадрату, сумма расстояний до его сторон равна 2, поэтому все искомые точки лежат вне квадрата.
Сначала рассмотрим точки, лежащие вне квадрата в первой координатной четверти. Для любой точки (x;y)
, лежащей в полосе с границами y=0
и y=\frac{1}{2}
, расстояния от неё до прямых, содержащих вертикальные стороны данного квадрата равны x-\frac{1}{2}
и x+\frac{1}{2}
, а до прямых, содержащих горизонтальные стороны, сумма расстояний равна 1. Значит, искомая сумма расстояний равна 2x+1=4
. Следовательно, условию удовлетворяют точки этой полосы, лежащие на прямой x=\frac{3}{2}
. Проведя аналогичное рассуждение для точек, лежащих в полосе с границами x=0
и x=\frac{1}{2}
, получим, что условию удовлетворяют точки прямой y=\frac{3}{2}
.
Если же точка лежит в первой четверти вне этих полос, то расстояние от неё до прямых, содержащих вертикальные стороны, равно x-\frac{1}{2}
и x+\frac{1}{2}
, а до прямых, содержащих горизонтальные стороны, равно y-\frac{1}{2}
и y+\frac{1}{2}
. Тогда искомые точки удовлетворяют уравнению 2x+2y=4
, или x+y=2
(см. примечание к задаче 4203).
Таким образом, в первой четверти получим трёхзвенную ломаную, удовлетворяющую условию. Учитывая, что данный квадрат симметричен как относительно осей координат, так и относительно начала координат, получим точки искомого ГМТ в остальных координатных четвертях.
Примечание. Аналогичные рассуждения можно провести и не используя систему координат.
Источник: Московская математическая регата. — 2024, 8 класс, задача 3.2