16783. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
проведена медиана AM
. Может ли выполняться равенство AB=2AM
?
Ответ. Не может.
Решение. Первый способ. Предположим, что AB=2AM
. Тогда медиана треугольника ABC
, проведённая к стороне AB
, равна AM
. Из равенства двух медиан треугольника следует, что треугольник ABC
равнобедренный, AB=BC
(см. задачу 1904), что невозможно.
Второй способ. На продолжении медианы AM
отложим отрезок MA'=AM
. Тогда ABA'C
— параллелограмм, поэтому BA'\parallel AC
. Значит,
\angle ABA'=\angle ACA'=90^{\circ}+\angle BCA'\gt90^{\circ},
т. е. угол ABA'
тупой. Тогда AA'
наибольшая сторона треугольника ABA'
, поэтому 2AM=AA'\gt AB
.
Также можно провести через точку M
среднюю линию MK
треугольника ABC
, параллельную AC
, и провести аналогичное рассуждение для треугольника AMK
.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 9 класс, задача 1.2