16786. Существует ли треугольник, в котором окружность, построенная на стороне как на диаметре, касается окружности, проходящей через середины его сторон?
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
и его описанную окружность. Она построена на гипотенузе AB
как на диаметре, поэтому её центр C_{1}
— середина AB
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Середины A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
сторон треугольника и вершина C
его прямого угла образуют прямоугольник (A_{1}C_{1}
и B_{1}C_{1}
— средние линии треугольника ABC
), поэтому окружность, проходящая через середины сторон треугольника ABC
, содержит вершину C
, а её центр O
— середина CC_{1}
.
Таким образом, общая точка C
двух указанных окружностей лежит на линии их центров, поэтому касательная, проведённая через эту точку к одной из окружностей, является касательной и к другой. Это и означает, что окружности касаются.
Второй способ. Воспользуемся тем, что при гомотетии с центром в ортоцентре треугольника и коэффициентом \frac{1}{2}
окружность, описанная около треугольника, переходит в его окружность девяти точек (см. задачу 174), которая и проходит через середины сторон треугольника. В данном случае, точка C
— центр гомотетии, который является неподвижной точкой. Значит, описанная окружность и её образ касаются в этой точке.
Примечание. Догадаться рассматривать прямоугольный треугольник можно, исходя из следующих соображений. Окружность, построенная на одной из сторон как на диаметре, — это ГМТ, из которых эта сторона видна под прямым углом, поэтому такая окружность пересекает прямые, содержащие две другие стороны, в основаниях высот. Окружность, проходящая через середины сторон треугольника, — это окружность девяти точек, которая тоже проходит через основания высот. Таким образом, если основания высот к сторонам, которые не являются диаметром, различны, то окружности уже имеют две различных общих точки, а значит касаться не могут. Значит, условие задачи может выполняться только в треугольнике, в котором основания двух высот совпадают, то есть в прямоугольном.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 9 класс, задача 5.2