16789. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=45^{\circ}
, \angle B=15^{\circ}
. На луче AC
отмечена точка M
, Для которой CM=2AC
. Найдите угол AMB
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Обозначим CA=x
. На стороне BC
отметим точку L
, для которой \angle LAB=15^{\circ}
. Тогда
\angle CAL=30^{\circ}=\angle ALC,
поэтому треугольник CLA
равнобедренный, CL=CA=x
.
Пусть N
— середина отрезка MC
. Тогда треугольник CNL
равнобедренный с углом LCN
, равным 60^{\circ}
, т. е. этот треугольник равносторонний. В треугольнике CLM
известно, что LN=\frac{1}{2}CM
, поэтому \angle CLM=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Тогда
\angle ALM=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ},
поэтому \angle AML=30^{\circ}=\angle LAM
. Значит, треугольник ALM
равнобедренный, поэтому ML=AL=BL
. Таким образом,
\angle BML=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BLM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-90^{\circ})=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle AMB=\angle AML+\angle BML=75^{\circ}.
Можно также рассуждать иначе: сначала опустить перпендикуляр ML
на BC
, откуда будет следовать, что угол CML
равен 30^{\circ}
. Тогда будет обратный порядок счёта углов.
Примечание. Попутно получено, что точка L
— центр описанной окружности треугольника AMB
.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 7 класс, задача 4.2